5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) (a⁻²-b⁻²)(a−b)⁻¹; 2) a) (x/y)⁻²-(x/y)⁻³;

Задание 5. Преобразование выражений в дробь

1) а) \( (a^{-2}-b^{-2})(a-b)^{-1} \)

Сначала преобразуем выражения в скобках в дроби:

• \( a^{-2} = \frac{1}{a^2} \)
• \( b^{-2} = \frac{1}{b^2} \)
• \( (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b} \)

Теперь подставим их в исходное выражение:

\( (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}) \cdot \frac{1}{a-b} \)

Приведем дроби в первой скобке к общему знаменателю:

\( (\frac{b^2}{a^2b^2} - \frac{a^2}{a^2b^2}) \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \)

Разложим \( b^2-a^2 \) как разность квадратов: \( b^2-a^2 = (b-a)(b+a) \).

\( \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \)

Заметим, что \( b-a = -(a-b) \). Заменим \( b-a \) на \( -(a-b) \):

\( \frac{-(a-b)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \)

Сократим \( (a-b) \):

\( \frac{-(b+a)}{a^2b^2} = -\frac{a+b}{a^2b^2} \)

Ответ: \( -\frac{a+b}{a^2b^2} \).

2) а) \( (\frac{x}{y})^{-2} - (\frac{x}{y})^{-3} \)

Преобразуем степени с отрицательным показателем:

• \( (\frac{x}{y})^{-2} = (\frac{y}{x})^2 = \frac{y^2}{x^2} \)
• \( (\frac{x}{y})^{-3} = (\frac{y}{x})^3 = \frac{y^3}{x^3} \)

Подставим обратно в выражение:

\( \frac{y^2}{x^2} - \frac{y^3}{x^3} \)

Приведем дроби к общему знаменателю \( x^3 \):

\( \frac{y^2 \cdot x}{x^2 \cdot x} - \frac{y^3}{x^3} = \frac{xy^2}{x^3} - \frac{y^3}{x^3} = \frac{xy^2 - y^3}{x^3} \)

Можно вынести \( y^2 \) за скобки в числителе:

\( \frac{y^2(x - y)}{x^3} \)

Ответ: \( \frac{xy^2 - y^3}{x^3} \) или \( \frac{y^2(x-y)}{x^3} \).