5. При каких целых значениях $n$ выражение $A=\frac{n^2+2n+2}{n+3}$ также будет целым числом? Найдите это число.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. При каких целых значениях $n$ выражение $A=\frac{n^2+2n+2}{n+3}$ также будет целым числом? Найдите это число.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $n\ne-3$. Разделим числитель на знаменатель:

\[n^2+2n+2=(n+3)(n-1)+5,\qquad A=n-1+\frac5{n+3}.\]

Для целого $n$ значение $A$ целое тогда и только тогда, когда $n+3$ — делитель числа 5: $n+3\in\{-5,-1,1,5\}$. Следовательно, $n\in\{-8,-4,-2,2\}$.

Подставим эти значения: при $n=-8$ и $n=-4$ получаем $A=-10$; при $n=-2$ и $n=2$ получаем $A=2$.

Ответ: $n=-8,-4,-2,2$; соответствующие целые значения $A$: $-10$ и $2$.

5. При каких целых значениях \(n\) выражение \(A=\frac{n^2+2n+2}{n+3}\) также будет целым числом? Найдите это число.