5. При каких целых значениях $$n$$ выражение $$A = \frac{n^2+n+3}{n+2}$$ также будет целым числом? Найдите это число.

Решение:

Чтобы выражение \( A = \frac{n^2+n+3}{n+2} \) было целым числом, числитель \( n^2+n+3 \) должен делиться нацело на знаменатель \( n+2 \).

Выполним деление многочлена \( n^2+n+3 \) на \( n+2 \) столбиком или используем метод неопределенных коэффициентов.

Используем метод выделения целой части:

$$ n^2+n+3 = n(n+2) - 2n + n + 3 = n(n+2) - n + 3 \)

$$ -n + 3 = -1(n+2) + 2 + 3 = -1(n+2) + 5 \)

Таким образом, \( n^2+n+3 = n(n+2) - (n+2) + 5 = (n-1)(n+2) + 5 \).

Значит, \( A = \frac{(n-1)(n+2) + 5}{n+2} = n-1 + \frac{5}{n+2} \).

Для того чтобы \( A \) было целым числом, \( \frac{5}{n+2} \) должно быть целым числом. Это означает, что \( n+2 \) должно быть делителем числа 5.

Делители числа 5: \( -5, -1, 1, 5 \).

Найдем значения \( n \) для каждого делителя:

• \( n+2 = -5 \implies n = -7 \)
• \( n+2 = -1 \implies n = -3 \)
• \( n+2 = 1 \implies n = -1 \)
• \( n+2 = 5 \implies n = 3 \)

Теперь найдем значение \( A \) для каждого из этих \( n \):

• При \( n = -7 \): \( A = -7 - 1 + \frac{5}{-7+2} = -8 + \frac{5}{-5} = -8 - 1 = -9 \)
• При \( n = -3 \): \( A = -3 - 1 + \frac{5}{-3+2} = -4 + \frac{5}{-1} = -4 - 5 = -9 \)
• При \( n = -1 \): \( A = -1 - 1 + \frac{5}{-1+2} = -2 + \frac{5}{1} = -2 + 5 = 3 \)
• При \( n = 3 \): \( A = 3 - 1 + \frac{5}{3+2} = 2 + \frac{5}{5} = 2 + 1 = 3 \)

Целыми значениями \( n \), при которых \( A \) является целым числом, являются: \( -7, -3, -1, 3 \). Возможные значения \( A \) — \( -9 \) и \( 3 \).

Ответ: Целыми значениями $$n$$ являются $$-7, -3, -1, 3$$. В этих случаях значение выражения $$A$$ равно $$-9$$ или $$3$$.