6. Постройте график функции $$y = \frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{2x^2}$$. При каких значениях аргумента значения функции неположительны?

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Постройте график функции $y = \frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{2x^2}$. При каких значениях аргумента значения функции…$ Фото задания

6. Постройте график функции $$y = \frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{2x^2}$$. При каких значениях аргумента значения функции неположительны?

Accepted Answer

Решение:

1. Упростим выражение для функции:

$$ y = \frac{(x+2)^2 - (x-2)^2}{2x^2} \)

Раскроем скобки в числителе:

$$ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)

$$ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)

$$ (x+2)^2 - (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 8x \)

Теперь подставим это обратно в выражение для $ y $:

$$ y = \frac{8x}{2x^2} \)

Сократим дробь, при условии, что $ x \neq 0 $:

$$ y = $\frac{4}{x}$ \)

2. Построим график функции $ y = \frac{4}{x} $.

Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Ось $ x $ и ось $ y $ являются асимптотами.

Несколько точек для построения:

При $ x=1 $, $ y=4 $
При $ x=2 $, $ y=2 $
При $ x=4 $, $ y=1 $
При $ x=-1 $, $ y=-4 $
При $ x=-2 $, $ y=-2 $
При $ x=-4 $, $ y=-1 $

3. Определим, при каких значениях аргумента $ x $ значения функции $ y $ неположительны (т.е. $ y \le 0 $).

Функция $ y = \frac{4}{x} $ будет неположительной, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель (4) положителен, то знаменатель $ x $ должен быть отрицательным.

$ y \le 0 $ при $ x < 0 $.

Также нужно учесть, что $ x \neq 0 $ (так как на ноль делить нельзя).

Ответ: График функции — гипербола $ y = \frac{4}{x} $. Значения функции неположительны при $ x < 0 $.