5. Приведите функцию \(y=\frac{2x+1}{x-3}\) к виду \(y=\frac{k}{x-a}+\beta\). Найдите уравнения её вертикальной и горизонтальной асимптот.

Разделим числитель на знаменатель, выделив слагаемое, пропорциональное \(x-3\): \(2x+1=2(x-3)+7\). Поэтому \(y=2+\frac{7}{x-3}=\frac{7}{x-3}+2\).

Знаменатель обращается в ноль при \(x=3\), значит вертикальная асимптота — \(x=3\). При \(x\to\pm\infty\) дробь \(\frac{7}{x-3}\) стремится к нулю, поэтому горизонтальная асимптота — \(y=2\).

Ответ: \(k=7\), \(a=3\), \(\beta=2\); асимптоты \(x=3\) и \(y=2\).