5. Прямая a параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым a и b?

Нет. Любая прямая, перпендикулярная b, имеет направление, параллельное плоскости α. Если такая прямая пересекает b, точка пересечения лежит в α, и вся прямая лежит в α. Но a параллельна α и не пересекает её. Поэтому прямая, перпендикулярная b, не может пересечь a, а значит, не может быть перпендикулярна ей.

Ответ: такой прямой не существует.