5. Прямая АВ касается окружности в точке А. На окружности отмечена точка С так, что СВ ⊥ АВ и СВ = АВ. Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу АС.

Решение:

• 1. Анализ данных:
• AB — касательная к окружности в точке A.
• CB ⊥ AB, значит, ∠ABC = 90°.
• CB = AB.
• Треугольник ABC — прямоугольный равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠BCA = ∠BAC = (180° - 90°) / 2 = 45°.
• 2. Связь с окружностью:
• Угол BAC — это угол между касательной AB и хордой AC.
• По теореме о касательной и хорде, величина этого угла равна половине дуги AC, на которую опирается угол.
• ∠BAC = (мера дуги AC) / 2
• 45° = (мера дуги AC) / 2
• Мера дуги AC = 45° * 2 = 90°.
• 3. Центральный угол:
• Центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен мере этой дуги.
• Следовательно, искомый центральный угол равен 90°.

Ответ: 90°