5. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 22, AC = 55, NC = 36.

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• Прямая \( MN \parallel AC \), где \( M \) на \( AB \), \( N \) на \( BC \).
• \( MN = 22 \)
• \( AC = 55 \)
• \( NC = 36 \)

Найти:

• \( BN \)

Решение:

Так как \( MN ∥ AC \), то \( \triangle MBN \) подобен \( \triangle ABC \) (по двум углам: \( ∠ B \) — общий, \( ∠ BMN = ∠ BAC \) как соответственные при параллельных прямых \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \); аналогично \( ∠ BNM = ∠ BCA \)).

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:

\[ \frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BN}{BC} = \frac{22}{55} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{22}{55} = \frac{2 \times 11}{5 \times 11} = \frac{2}{5} \]

Таким образом, \( \frac{BN}{BC} = \frac{2}{5} \).

Мы знаем, что \( BC = BN + NC \). Подставим это в уравнение:

\[ \frac{BN}{BN + NC} = \frac{2}{5} \]

Подставим значение \( NC = 36 \):

\[ \frac{BN}{BN + 36} = \frac{2}{5} \]

Решим уравнение относительно \( BN \):

\[ 5 × BN = 2 × (BN + 36) \]

\[ 5 × BN = 2 × BN + 72 \]

\[ 5 × BN - 2 × BN = 72 \]

\[ 3 × BN = 72 \]

\[ BN = \frac{72}{3} \]

\[ BN = 24 \]

Ответ: 24