6. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 2, AC = 8.

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• Окружность с центром на \( AC \).
• Окружность проходит через \( C \).
• Окружность касается \( AB \) в точке \( B \).
• \( AB = 2 \)
• \( AC = 8 \)

Найти:

• Диаметр окружности.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности. Поскольку центр лежит на \( AC \) и окружность проходит через \( C \), то \( OC = R \) (радиус окружности).

Так как окружность касается прямой \( AB \) в точке \( B \), то радиус \( OB \), проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной \( AB \).

Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABO \).

У нас есть:

• \( OB = R \) (радиус окружности)
• \( AB = 2 \) (катет)
• \( AO \) — гипотенуза.

Из теоремы Пифагора для \( \triangle ABO \):

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]

\[ AO^2 = 2^2 + R^2 = 4 + R^2 \]

Теперь рассмотрим положение центра \( O \) на отрезке \( AC \). Точка \( O \) находится между \( A \) и \( C \).

Отрезок \( AC = AO + OC \).

Мы знаем \( AC = 8 \) и \( OC = R \).

Значит, \( AO = AC - OC = 8 - R \).

Подставим это выражение для \( AO \) в уравнение теоремы Пифагора:

\[ (8 - R)^2 = 4 + R^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 64 - 16R + R^2 = 4 + R^2 \]

Вычтем \( R^2 \) из обеих частей уравнения:

\[ 64 - 16R = 4 \]

Перенесём \( 16R \) вправо и \( 4 \) влево:

\[ 64 - 4 = 16R \]

\[ 60 = 16R \]

Найдем радиус \( R \):

\[ R = \frac{60}{16} \]

Упростим дробь:

\[ R = \frac{15 × 4}{4 × 4} = \frac{15}{4} = 3.75 \]

Диаметр окружности равен \( D = 2R \).

\[ D = 2 × \frac{15}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Ответ: 7.5