5. Решить задачу: Лодка проходит 54 км по течению реки и 48 км в стоячей воде за 6 ч. Чтобы пройти 64 км в стоячей воде, лодке необходимо на 2 ч больше, чем на прохождение 36 км по течению той же реки. Найти собственную скорость лодки и скорость течения.

Привет! Давай решим эту непростую, но интересную задачу про лодку и течение.

Обозначим:

• v_л — собственная скорость лодки (км/ч)
• v_т — скорость течения реки (км/ч)

Тогда:

• Скорость лодки по течению: v_л + v_т (км/ч)
• Скорость лодки против течения: v_л - v_т (км/ч)
• Скорость лодки в стоячей воде: v_л (км/ч)

Вспомним формулу: время = расстояние / скорость.

Условие 1: Лодка проходит 54 км по течению реки и 48 км в стоячей воде за 6 ч.

Время по течению: t₁ = 54 / (v_л + v_т)

Время в стоячей воде: t₂ = 48 / v_л

Общее время: t₁ + t₂ = 6

\[ \frac{54}{v_л + v_т} + \frac{48}{v_л} = 6 \]

Упростим, разделив всё на 6:

\[ \frac{9}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л} = 1 \] (1)

Условие 2: Чтобы пройти 64 км в стоячей воде, лодке необходимо на 2 ч больше, чем на прохождение 36 км по течению той же реки.

Время в стоячей воде: t₃ = 64 / v_л

Время по течению: t₄ = 36 / (v_л + v_т)

Разница во времени: t₃ - t₄ = 2

\[ \frac{64}{v_л} - \frac{36}{v_л + v_т} = 2 \]

Упростим, разделив всё на 2:

\[ \frac{32}{v_л} - \frac{18}{v_л + v_т} = 1 \] (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases} \frac{9}{v_л + v_т} + \frac{8}{v_л} = 1 \\ \frac{32}{v_л} - \frac{18}{v_л + v_т} = 1 \end{cases} \]

Давайте сделаем замену переменных, чтобы было проще:

Пусть a = 1 / (v_л + v_т) и b = 1 / v_л.

Система примет вид:

\[ \begin{cases} 9a + 8b = 1 \\ 32b - 18a = 1 \end{cases} \]

Теперь решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при 'a' были противоположными:

\[ \begin{cases} 18a + 16b = 2 \\ -18a + 32b = 1 \end{cases} \]

Сложим два уравнения:

\[ (18a - 18a) + (16b + 32b) = 2 + 1 \]

\[ 48b = 3 \]

\[ b = 3 / 48 = 1 / 16 \]

Теперь найдем 'a', подставив 'b' в первое уравнение (9a + 8b = 1):

\[ 9a + 8(1/16) = 1 \]

\[ 9a + 1/2 = 1 \]

\[ 9a = 1 - 1/2 \]

\[ 9a = 1/2 \]

\[ a = (1/2) / 9 = 1/18 \]

Теперь вернемся к исходным переменным:

b = 1 / v_л = 1/16 => v_л = 16 км/ч

a = 1 / (v_л + v_т) = 1/18

\[ v_л + v_т = 18 \]

Подставляем найденное значение v_л:

\[ 16 + v_т = 18 \]

\[ v_т = 18 - 16 = 2 \]

v_т = 2 км/ч

Проверка:

Условие 1:

Время по течению: 54 / (16 + 2) = 54 / 18 = 3 ч

Время в стоячей воде: 48 / 16 = 3 ч

Общее время: 3 + 3 = 6 ч (Верно)

Условие 2:

Время в стоячей воде: 64 / 16 = 4 ч

Время по течению: 36 / (16 + 2) = 36 / 18 = 2 ч

Разница во времени: 4 - 2 = 2 ч (Верно)

Ответ:

• Собственная скорость лодки: 16 км/ч
• Скорость течения: 2 км/ч