6. При каких значениях а уравнение 4x² + (1 - а)x + 1 = 0 не имеет корней?

Привет! Давай найдем значения 'a', при которых это квадратное уравнение не будет иметь корней.

Квадратное уравнение вида Ax² + Bx + C = 0 не имеет действительных корней, если его дискриминант D меньше нуля (D < 0).

В нашем уравнении:

• A = 4
• B = (1 - a)
• C = 1

Найдем дискриминант:

\[ D = B^2 - 4AC \]

\[ D = (1 - a)^2 - 4 · 4 · 1 \]

\[ D = (1 - a)^2 - 16 \]

Теперь нам нужно, чтобы D < 0:

\[ (1 - a)^2 - 16 < 0 \]

Это неравенство можно решить несколькими способами. Разложим на множители как разность квадратов:

\[ ((1 - a) - 4)((1 - a) + 4) < 0 \]

\[ (1 - a - 4)(1 - a + 4) < 0 \]

\[ (-a - 3)(-a + 5) < 0 \]

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

\[ (a + 3)(a - 5) > 0 \]

Теперь найдем корни этого неравенства:

• a + 3 = 0 => a = -3
• a - 5 = 0 => a = 5

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞; -3), (-3; 5), (5; +∞).

Проверим знак выражения (a + 3)(a - 5) на каждом интервале:

• Возьмем a = -4 (интервал (-∞; -3)): (-4 + 3)(-4 - 5) = (-1)(-9) = 9 > 0.
• Возьмем a = 0 (интервал (-3; 5)): (0 + 3)(0 - 5) = (3)(-5) = -15 < 0.
• Возьмем a = 6 (интервал (5; +∞)): (6 + 3)(6 - 5) = (9)(1) = 9 > 0.

Нам нужно, чтобы (a + 3)(a - 5) > 0, то есть чтобы выражение было положительным.

Это выполняется на интервалах (-∞; -3) и (5; +∞).

Ответ: Уравнение не имеет корней при a ∈ (-∞; -3) ∪ (5; +∞).