5. Решите с помощью системы уравнений. Сумма квадратов сторон прямоугольника равна \(52\text{ см}^2\), а его периметр равен \(20\text{ см}\). Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\) сантиметрам. Тогда

\(\begin{cases}a^2+b^2=52,\\2a+2b=20.\end{cases}\)

Из второго уравнения \(a+b=10\). Возведём в квадрат: \(a^2+2ab+b^2=100\). С учётом \(a^2+b^2=52\) получаем \(2ab=48\), значит, \(ab=24\).

Числа \(a,b\) — корни уравнения \(t^2-10t+24=0\). Разложение: \((t-4)(t-6)=0\), поэтому стороны равны 4 см и 6 см.

Ответ: 4 см и 6 см.