5. Решите систему: а) \(\begin{cases}5^{2x-y}=125,\\4^{x-y}=4;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}9^x\cdot3^y=81,\\\log_2x+\log_2y=1.\end{cases}\)

а) Представим правые части как степени оснований: \(125=5^3\), \(4=4^1\). Получаем систему \(\begin{cases}2x-y=3,\\x-y=1.\end{cases}\) Вычитая второе уравнение из первого, находим \(x=2\); тогда \(y=1\).

б) Из первого уравнения \(3^{2x+y}=3^4\), значит \(2x+y=4\). Для логарифмов необходимо \(x>0, y>0\); их сумма равна \(\log_2(xy)=1\), поэтому \(xy=2\). Подставим \(y=4-2x\): \(x(4-2x)=2\), или \((x-1)^2=0\). Значит, \(x=1\), \(y=2\); условия области определения выполнены.

Ответ: а) \((2;1)\); б) \((1;2)\).