5) Решите систему уравнений: \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{13}{6},\\x^2+y^2=13.\end{cases}\)

Здесь \(x\ne0\) и \(y\ne0\). Приведём первое уравнение к общему знаменателю: \(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{13}{6}\). Подставляя \(x^2+y^2=13\), получаем \(xy=6\).

Тогда \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy=13+12=25\), поэтому \(x+y=5\) или \(x+y=-5\). При сумме 5 и произведении 6 получаем числа 2 и 3; при сумме −5 — числа −2 и −3. Учитываем оба порядка.

Ответ: \((2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)\).