5. Решите уравнение: 5 sin² x + 2 sin x cos x − cos² x = 1.

Заменим правую часть на \(\sin^2 x+\cos^2 x\) и перенесём её влево:

\[4\sin^2 x+2\sin x\cos x-2\cos^2 x=0,\]

\[2(2\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=0.\]

При \(\cos x=0\) уравнение не выполняется. В остальных случаях получаем \(\tan x=\frac12\) или \(\tan x=-1\).

Ответ: \(x=\arctan\frac12+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).