5. Решите уравнение: а) \(\sqrt{2x+9}=x-3\); б) \(\sqrt{7-x^2}=\sqrt{-6x}\); в) \(2\sin x-1=0\); г) \(6\cos^2x-\sin x-5=0\).

а) Правая часть должна быть неотрицательной, значит \(x\geq3\). Возводим в квадрат: \(2x+9=(x-3)^2\), откуда \(x^2-8x=0\), то есть \(x=0\) или \(x=8\). Условию подходит только \(x=8\); подстановка подтверждает равенство.

б) Подкоренные выражения должны быть неотрицательны: \(x^2\leq7\), \(x\leq0\). Возводим обе части в квадрат: \(7-x^2=-6x\), поэтому \(x^2-6x-7=0\). Корни: \(x=7\) и \(x=-1\). Ограничениям и исходному уравнению удовлетворяет только \(x=-1\).

в) \(2\sin x-1=0\), значит \(\sin x=\frac{1}{2}\). Следовательно, \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

г) Обозначим \(t=\sin x\) и используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \(6(1-t^2)-t-5=0\), то есть \(6t^2+t-1=0\). Отсюда \(t=\frac{1}{3}\) или \(t=-\frac{1}{2}\). Поэтому

если \(\sin x=\frac{1}{3}\), то \(x=\arcsin\frac{1}{3}+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac{1}{3}+2\pi k\);

если \(\sin x=-\frac{1}{2}\), то \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).