5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: $\frac{x^2+6}{x}-\frac{5x}{x^2+6}=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: $\frac{x^2+6}{x}-\frac{5x}{x^2+6}=4$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne0$. Введём $t=\frac{x^2+6}{x}$. Тогда $\frac{5x}{x^2+6}=\frac5t$, и уравнение становится $t-\frac5t=4$.

Умножим на $t$: $t^2-4t-5=0$, поэтому $t=5$ или $t=-1$.

Если $t=5$, то $\frac{x^2+6}{x}=5$, откуда $x^2-5x+6=0$, следовательно, $x=2,3$.

Если $t=-1$, то $\frac{x^2+6}{x}=-1$, откуда $x^2+x+6=0$. Дискриминант равен $-23$, действительных корней нет.

Ответ: $x=2,3$.

5. Решите уравнение, используя введение новой переменной: \(\frac{x^2+6}{x}-\frac{5x}{x^2+6}=4\).