8. Сумма некоторого положительного числа и числа, обратного ему, в 1,7 раза меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.

Пусть положительное число равно \(x\), тогда обратное ему число — \(\frac1x\), где \(x>0\). По условию сумма чисел равна сумме их квадратов, делённой на \(1{,}7=\frac{17}{10}\):

\(x+\frac1x=\frac{10}{17}\left(x^2+\frac1{x^2}\right)\).

Обозначим \(t=x+\frac1x\). Поскольку \(x^2+\frac1{x^2}=t^2-2\), получаем \(t=\frac{10}{17}(t^2-2)\), или \(10t^2-17t-20=0\). Поэтому \(t=\frac52\) или \(t=-\frac45\). При \(x>0\) имеем \(x+\frac1x\ge2\), значит подходит только \(t=\frac52\).

Решаем \(x+\frac1x=\frac52\): \(2x^2-5x+2=0\), откуда \(x=2\) или \(x=\frac12\). Следовательно, искомые взаимно обратные числа — 2 и \(\frac12\).

Ответ: 2 и \(\frac12\).