7. Найдите корни уравнения $3\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+7\left(x+\frac1x\right)=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Найдите корни уравнения $3\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+7\left(x+\frac1x\right)=4$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne0$. Введём $t=x+\frac1x$; тогда $x^2+\frac1{x^2}=t^2-2$.

Подстановка даёт $3(t^2-2)+7t=4$, то есть $3t^2+7t-10=0$. Отсюда $t=1$ или $t=-\frac{10}{3}$.

При $t=1$: $x+\frac1x=1$, то есть $x^2-x+1=0$; действительных корней нет.

При $t=-\frac{10}{3}$: $3x^2+10x+3=0$, откуда $x=-3$ или $x=-\frac13$.

Ответ: $x=-3,-\frac13$.

7. Найдите корни уравнения \(3\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+7\left(x+\frac1x\right)=4\).