№ 5. Решите уравнение. Вариант 1: 1) $\lg(2x+3)=0$; 2) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; 3) $\lg(x^2-9)-\lg(x-3)=0$; 4) $\log_2^2(1-x)-2\log_2(1-x)=3$. Вариант 2: 1) $\lg(3x-1)=1$; 2) $\log_2(5-x)+\log_2(-1-x)=3$; 3) $\log_5(x^2-4)-\log_5(x-2)=0$; 4) $\log_{1/2}^2(x-3)+\log_{1/2}(x-3)=2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 5. Решите уравнение. Вариант 1: 1) $\lg(2x+3)=0$; 2) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; 3) $\lg(x^2-9)-\lg(x-3)=0$; 4)…$ Фото задания

№ 5. Решите уравнение. Вариант 1: 1) $\lg(2x+3)=0$; 2) $\log_2(x-2)+\log_2(x-3)=1$; 3) $\lg(x^2-9)-\lg(x-3)=0$; 4) $\log_2^2(1-x)-2\log_2(1-x)=3$. Вариант 2: 1) $\lg(3x-1)=1$; 2) $\log_2(5-x)+\log_2(-1-x)=3$; 3) $\log_5(x^2-4)-\log_5(x-2)=0$; 4) $\log_{1/2}^2(x-3)+\log_{1/2}(x-3)=2$.

Accepted Answer

Вариант 1.

$2x+3=1$, откуда $x=-1$. Аргумент положителен.
ОДЗ: $x>3$. Объединяем логарифмы: $(x-2)(x-3)=2$, то есть $x^2-5x+4=0$. Корни $1,4$; ОДЗ удовлетворяет только $x=4$.
ОДЗ: $x>3$. Разность логарифмов равна $\lg\frac{x^2-9}{x-3}=\lg(x+3)=0$. Тогда $x+3=1$, откуда $x=-2$, что не удовлетворяет ОДЗ. Корней нет.
Пусть $t=\log_2(1-x)$. Тогда $t^2-2t=3$, откуда $t=3$ или $t=-1$. Значит, $1-x=8$ или $1-x=1/2$, и $x=-7$ или $x=1/2$.

Вариант 2.

$3x-1=10$, поэтому $x=\frac{11}{3}$.
ОДЗ: $-1<x<5$. Получаем $(5-x)(-1-x)=8$, то есть $x^2-4x-3=0$. Корни $2\pm\sqrt7$; условию ОДЗ удовлетворяет только $2-\sqrt7$.
ОДЗ: $x>2$. Сокращение логарифмов даёт $\log_5\frac{x^2-4}{x-2}=0$, то есть $x+2=1$. Это противоречит ОДЗ, поэтому корней нет.
Пусть $t=\log_{1/2}(x-3)$. Тогда $t^2+t=2$, откуда $t=1$ или $t=-2$. Следовательно, $x-3=\frac12$ или $x-3=4$; $x=\frac72$ или $x=7$.

Ответ: