5. Рис. 518. Доказать: AD ∥ BC, AB ∥ CD, ABCD — параллелограмм.

По отметкам на рисунке A, B, C и D — середины сторон четырёхугольника MNPМ: AM = AN, BN = BK, KC = CP и MD = DP. Рассмотрим треугольник MNP.

1. A и B — середины сторон MN и NP, поэтому по теореме о средней линии AB ∥ MP.
2. A и D — середины сторон MN и MP, поэтому AD ∥ NP. Так как B и C лежат на NP, получаем AD ∥ BC.
3. B и C — середины сторон NP и PM, поэтому BC ∥ NM. Поскольку A и D лежат на NM, получаем BC ∥ AD.
4. Аналогично, отрезок CD, соединяющий середины сторон PM и MN, параллелен MP, поэтому AB ∥ CD.
5. В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.