5. Точки A и B не лежат на одной прямой. Сколько существует прямых, проходящих через C, для которых расстояния от точек A и B до этой прямой равны?

Пусть прямая через C имеет единичную нормаль n. Равенство расстояний означает, что модули проекций векторов CA и CB на n равны: |CA·n| = |CB·n|. Поэтому выполняется одно из двух равенств: (CA−CB)·n = 0 или (CA+CB)·n = 0.

Каждому из этих условий соответствует направление прямой через C, перпендикулярное соответствующему вектору. В общем случае получаются две прямые. Однако если C лежит на прямой AB, эти два направления совпадают, и существует одна такая прямая.

Ответ: обычно 2; если A, B и C лежат на одной прямой — 1.