5. Точки A и B принадлежат плоскости α, M — такая точка в пространстве, что AM = 2, BM = 5, и проекция на плоскость α отрезка BM в три раза больше проекции на эту плоскость отрезка AM. Найдите расстояние от M до плоскости α.

Обозначим через P основание перпендикуляра из M на плоскость α, а через \(x=AP\) — длину проекции AM. Тогда длина проекции BM равна \(BP=3x\).

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников AMP и BMP:

\(x^2+MP^2=2^2\),
\((3x)^2+MP^2=5^2\).

Вычтем первое равенство из второго: \(8x^2=21\), откуда \(x^2=\frac{21}{8}\).

Тогда \(MP^2=4-\frac{21}{8}=\frac{11}{8}\), следовательно, \(MP=\sqrt{\frac{11}{8}}=\frac{\sqrt{22}}{4}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{22}}{4}\).