6. В пирамиде ABCD имеют место равенства AB = 2, BC = 3, BD = 4, AD = 2√5, CD = 5. Докажите, что BD перпендикулярна плоскости ABC.

В треугольнике ABD:

\(AB^2+BD^2=2^2+4^2=20=(2\sqrt{5})^2=AD^2\).

По обратной теореме Пифагора \(AB\perp BD\).

В треугольнике CBD:

\(BC^2+BD^2=3^2+4^2=25=CD^2\).

Значит, \(BC\perp BD\). Прямые AB и BC пересекаются и лежат в плоскости ABC. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Следовательно, \(BD\perp(ABC)\).