5. Точки E и F — соответственно середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

1. Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда O — середина AC и BD.
2. Обозначим через \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}\) радиус-векторы точек A, B, C, D. Для параллелограмма \(\mathbf{a}+\mathbf{c}=\mathbf{b}+\mathbf{d}\).
3. Поскольку E — середина BC, а F — середина AD, их радиус-векторы равны \(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\) и \(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{d}}{2}\). Поэтому сумма радиус-векторов E и F равна \(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{2}=\mathbf{a}+\mathbf{c}\).
4. Значит, середина EF совпадает с серединой AC — точкой O. Диагонали четырёхугольника AECF, то есть AC и EF, делятся пополам.

Следовательно, AECF — параллелограмм.