7. На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 38) отложены равные отрезки AM, BK, CE и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм.

1. Пусть общий отрезок равен \(r\). Обозначим через \(\mathbf{e}\) единичный вектор направления AB, а через \(\mathbf{f}\) — единичный вектор направления AD.
2. С учётом направления сторон параллелограмма: \(\vec{AM}=r\mathbf{e}\), \(\vec{BK}=r\mathbf{f}\), \(\vec{CE}=-r\mathbf{e}\), \(\vec{DF}=-r\mathbf{f}\).
3. Поскольку \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}\), получаем \(\vec{AM}+\vec{CE}=\vec{AC}\). Аналогично, \(\vec{BK}+\vec{DF}=\vec{BD}\).
4. Это означает, что середина ME совпадает с серединой KF: диагонали ME и KF четырёхугольника MKEF имеют общий центр.

Диагонали MKEF делятся точкой пересечения пополам, поэтому MKEF — параллелограмм.