5. Цилиндрический сосуд заполнен газом при температуре 27 °С и давлении 100 кПа и разделен пополам подвижной перегородкой. Каково будет давление, если газ в одной половине нагреть до температуры 57 °С, а во второй половине температуру газа оставить без изменения?

Пошаговое решение:

1. Начальные условия: \( P_1 = 100 \text{ кПа} \), \( T_1 = 27 \text{ °C} + 273.15 = 300.15 \text{ К} \). Объем каждой половины сосуда равен \( V_0 \).
2. Конечное состояние для первой половины: \( T_{2a} = 57 \text{ °C} + 273.15 = 330.15 \text{ К} \).
3. Конечное состояние для второй половины: \( T_{2b} = 27 \text{ °C} + 273.15 = 300.15 \text{ К} \).
4. Так как перегородка подвижная, конечное давление в обеих половинах будет одинаковым, обозначим его \( P_2 \).
5. Для первой половины: \( P_2 V_{2a} = n_a R T_{2a} \).
6. Для второй половины: \( P_2 V_{2b} = n_b R T_{2b} \).
7. Начальное состояние газа в каждой половине: \( P_1 V_0 = n R T_1 \). Так как \( P_1 \) и \( T_1 \) одинаковы для обеих половин, то \( n_a = n_b = n \), и \( V_{2a} + V_{2b} = 2V_0 \) (общий объем остается постоянным).
8. Из \( P_2 V_{2a} = n R T_{2a} \) и \( P_2 V_{2b} = n R T_{2b} \), выразим объемы: \( V_{2a} = \frac{n R T_{2a}}{P_2} \) и \( V_{2b} = \frac{n R T_{2b}}{P_2} \).
9. Суммируем объемы: \( V_{2a} + V_{2b} = \frac{n R (T_{2a} + T_{2b})}{P_2} = 2V_0 \).
10. Из начального состояния: \( V_0 = \frac{n R T_1}{P_1} \).
11. Подставляем \( V_0 \): \( \frac{n R (T_{2a} + T_{2b})}{P_2} = 2 \frac{n R T_1}{P_1} \).
12. Сокращаем \( nR \): \( \frac{T_{2a} + T_{2b}}{P_2} = \frac{2 T_1}{P_1} \).
13. Выразим \( P_2 \): \( P_2 = P_1 \times \frac{T_{2a} + T_{2b}}{2 T_1} \).
14. Подставим значения: \( P_2 = 100 \text{ кПа} \times \frac{330.15 \text{ К} + 300.15 \text{ К}}{2 \times 300.15 \text{ К}} \).
15. Произведем расчет: \( P_2 = 100 \text{ кПа} \times \frac{630.3}{600.3} \approx 100 \text{ кПа} \times 1.05 \).
16. \( P_2 \approx 105 \text{ кПа} \).

Ответ: 105 кПа