5. Упростить выражение $$a^{-9} \cdot a^{-5}$$, при $$a = \frac{1}{2}$$.

Решение:

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются:

• \[ a^{-9} \cdot a^{-5} = a^{-9 + (-5)} = a^{-14} \]

Теперь подставим значение $$a = \frac{1}{2}$$:

• \[ a^{-14} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-14} \]
• \[ = \frac{1}{(\frac{1}{2})^{14}} = \frac{1}{\frac{1^{14}}{2^{14}}} = \frac{1}{\frac{1}{2^{14}}} \]
• \[ = 1 \times \frac{2^{14}}{1} = 2^{14} \]

Вычислим $$2^{14}$$:

• $$2^{10} = 1024$$
• $$2^{14} = 2^{10} \times 2^4 = 1024 \times 16 = 16384$$

Ответ: $$16384$$