5. Упростить выражение: $\frac{y}{y+2}+\left(\frac{1}{4-y^2}-\frac{1}{4-4y+y^2}\right)\cdot\frac{2}{(y-2)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростить выражение: $\frac{y}{y+2}+\left(\frac{1}{4-y^2}-\frac{1}{4-4y+y^2}\right)\cdot\frac{2}{(y-2)^2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $4-y^2=(2-y)(2+y)$, $4-4y+y^2=(y-2)^2$. Разность в скобках:

\[\frac{1}{(2-y)(2+y)}-\frac{1}{(2-y)^2}=-\frac{2y}{(y-2)^2(y+2)}.\]

После умножения на $\frac{2}{(y-2)^2}$ и приведения к общему знаменателю получаем:

\[\frac{y}{y+2}-\frac{4y}{(y-2)^4(y+2)}=\frac{y\big((y-2)^4-4\big)}{(y+2)(y-2)^4}.\]

Ответ: $\frac{y\big((y-2)^4-4\big)}{(y+2)(y-2)^4}$, где $y\ne\pm2$.

5. Упростить выражение: \(\frac{y}{y+2}+\left(\frac{1}{4-y^2}-\frac{1}{4-4y+y^2}\right)\cdot\frac{2}{(y-2)^2}\).