5. Упростите выражение (4x² / (x² - 4)) - (2x / (x + 2)) и найдите его значение при x = 4. В ответ запишите полученное число.

Задание 5

Нужно упростить выражение \( \frac{4x^2}{x^2 - 4} - \frac{2x}{x + 2} \) и найти его значение при \( x = 4 \).

Шаг 1: Упрощение выражения

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

2. Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{4x^2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x}{x + 2}$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — \( (x - 2)(x + 2) \). Вторую дробь нужно умножить на \( (x - 2) \) в числителе и знаменателе:

$$\frac{4x^2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}$$

4. Теперь вычтем числители:

$$\frac{4x^2 - 2x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$

5. Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{4x^2 - (2x^2 - 4x)}{(x - 2)(x + 2)}$$

6. Изменим знаки в скобках:

$$\frac{4x^2 - 2x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 2)}$$

7. Сложим подобные слагаемые в числителе:

$$\frac{2x^2 + 4x}{(x - 2)(x + 2)}$$

8. Вынесем общий множитель \( 2x \) из числителя:

$$\frac{2x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$

9. Сократим дробь на \( (x + 2) \), при условии, что \( x \neq -2 \):

$$\frac{2x}{x - 2}$$

Шаг 2: Нахождение значения выражения при \( x = 4 \)

1. Подставим \( x = 4 \) в упрощённое выражение:

$$\frac{2 × 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4$$

Ответ: 4