5. Упростите выражение \(\frac{1}{2} a^4 \sqrt{36a^6}\) при \(a < 0\).

Решение:

1. Упростим выражение под корнем: \(\sqrt{36a^6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^6} = 6 \cdot |a^3|\).
2. Так как по условию \(a < 0\), то \(a^3 < 0\). Следовательно, \(|a^3| = -a^3\).
3. Таким образом, \(\sqrt{36a^6} = 6 \cdot (-a^3) = -6a^3\).
4. Подставим это в исходное выражение: \(\frac{1}{2} a^4 \cdot (-6a^3)\).
5. Выполним умножение: \(\frac{1}{2} \cdot (-6) \cdot a^4 \cdot a^3 = -3 a^{4+3} = -3a^7\).

Ответ: \(-3a^7\).