6. Найдите допустимые значения переменной в выражении \(\frac{3x - 4}{\sqrt{x} - 3}\).

Решение:

Чтобы найти допустимые значения переменной, необходимо учесть два условия:

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \(\sqrt{x} - 3 \ne 0\).
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: \(x \ge 0\).

Решим первое условие:

\(\sqrt{x} - 3 \ne 0\)
\(\sqrt{x} \ne 3\)
Возведём обе части в квадрат:
\(x \ne 9\).

Теперь объединим оба условия: \(x \ge 0\) и \(x \ne 9\).

Это означает, что \(x\) может принимать любые значения, кроме \(x = 9\), и \(x\) должен быть больше или равен нулю.

На числовой прямой это будет выглядеть как промежуток \([0; 9)\) и \((9; \infty)\).

Ответ: \(x \in [0; 9) \cup (9; \infty)\).