5. Упростите выражения: а) $\sin\dfrac{9\pi}{14}\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{9\pi}{14}\sin\dfrac{\pi}{7}$; б) $\dfrac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha+\cos 2\alpha}$; в) $3\cos^2\alpha+\dfrac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите выражения: а) $\sin\dfrac{9\pi}{14}\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{9\pi}{14}\sin\dfrac{\pi}{7}$; б)…$ Фото задания

5. Упростите выражения: а) $\sin\dfrac{9\pi}{14}\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{9\pi}{14}\sin\dfrac{\pi}{7}$; б) $\dfrac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha+\cos 2\alpha}$; в) $3\cos^2\alpha+\dfrac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6$.

Accepted Answer

а) По формуле синуса разности:

$\sin\dfrac{9\pi}{14}\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{9\pi}{14}\sin\dfrac{\pi}{7}=\sin\left(\dfrac{9\pi}{14}-\dfrac{\pi}{7}\right)=\sin\dfrac{7\pi}{14}=1$.

б) Применим формулы преобразования разности синусов и суммы косинусов:

$\dfrac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha+\cos 2\alpha}=\dfrac{2\cos 3\alpha\sin\alpha}{2\cos 3\alpha\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$.

Исходная дробь определена при $\cos 3\alpha\ne0$ и $\cos\alpha\ne0$; сокращение не отменяет этих ограничений.

в) При определённом $\operatorname{ctg}\alpha$ выполняется $\dfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}=\sin^2\alpha$. Поэтому

$3\cos^2\alpha+\dfrac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6=3\cos^2\alpha+3\sin^2\alpha-6=3-6=-3$, где $\sin\alpha\ne0$.

Ответ: а) $1$; б) $\operatorname{tg}\alpha$ при ограничениях исходного выражения; в) $-3$ при $\sin\alpha\ne0$.

5. Упростите выражения: а) \(\sin\dfrac{9\pi}{14}\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{9\pi}{14}\sin\dfrac{\pi}{7}\); б) \(\dfrac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{\cos 4\alpha+\cos 2\alpha}\); в) \(3\cos^2\alpha+\dfrac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6\).

Ответ: