7. Решите уравнения: а) $2\sin^2x=1+\cos x$; б) $\operatorname{tg}3x\,(\sqrt3-\operatorname{ctg}x)=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Решите уравнения: а) $2\sin^2x=1+\cos x$; б) $\operatorname{tg}3x\,(\sqrt3-\operatorname{ctg}x)=0$.$ Фото задания

7. Решите уравнения: а) $2\sin^2x=1+\cos x$; б) $\operatorname{tg}3x\,(\sqrt3-\operatorname{ctg}x)=0$.

Accepted Answer

а) Используем тождество $\sin^2x=1-\cos^2x$:

$2(1-\cos^2x)=1+\cos x$, поэтому $2\cos^2x+\cos x-1=0$.

Разложим на множители: $(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$. Значит, $\cos x=\dfrac12$ или $\cos x=-1$.

Отсюда $x=360^\circ k\pm60^\circ$ или $x=180^\circ+360^\circ k$, где $k\in\mathbb Z$.

б) Учитываем область определения: должны быть определены $\operatorname{tg}3x$ и $\operatorname{ctg}x$. Из равенства произведения нулю получаем два случая.

1) $\operatorname{tg}3x=0$. Тогда $3x=180^\circ k$, то есть $x=60^\circ k$. Условие определённости $\operatorname{ctg}x$ исключает значения, для которых $x=180^\circ n$, поэтому $k$ не кратно 3.

2) $\sqrt3-\operatorname{ctg}x=0$. Тогда $x=30^\circ+180^\circ k$. При этих значениях $3x=90^\circ+540^\circ k$, поэтому $\operatorname{tg}3x$ не определён; решений в этом случае нет.

Ответ: а) $x=360^\circ k\pm60^\circ$ или $x=180^\circ+360^\circ k$; б) $x=60^\circ k$, где $k\in\mathbb Z$ и $3\nmid k$.

7. Решите уравнения: а) \(2\sin^2x=1+\cos x\); б) \(\operatorname{tg}3x\,(\sqrt3-\operatorname{ctg}x)=0\).

Ответ: