5. Упростите выражения: А) $\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7}$; Б) $\frac{\sin4\alpha-\sin2\alpha}{\cos4\alpha+\cos2\alpha}$; В) $3\cos^2\alpha+\frac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите выражения: А) $\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7}$; Б)…$ Фото задания

5. Упростите выражения: А) $\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7}$; Б) $\frac{\sin4\alpha-\sin2\alpha}{\cos4\alpha+\cos2\alpha}$; В) $3\cos^2\alpha+\frac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6$.

Accepted Answer

А) По формуле синуса разности:

$\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7}=\sin\left(\frac{9\pi}{14}-\frac{\pi}{7}\right)=\sin\frac{7\pi}{14}=1.$

Б) Применим формулы разности синусов и суммы косинусов:

$\sin4\alpha-\sin2\alpha=2\cos3\alpha\sin\alpha$, а $\cos4\alpha+\cos2\alpha=2\cos3\alpha\cos\alpha$. Следовательно, дробь равна $\operatorname{tg}\alpha$ там, где исходное выражение определено.

В) Используем $\operatorname{ctg}^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}$:

$3\cos^2\alpha+\frac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6=3\cos^2\alpha+3\sin^2\alpha-6=3-6=-3.$

Ответ: А) 1; Б) $\operatorname{tg}\alpha$; В) $-3$.

5. Упростите выражения: А) \(\sin\frac{9\pi}{14}\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{9\pi}{14}\sin\frac{\pi}{7}\); Б) \(\frac{\sin4\alpha-\sin2\alpha}{\cos4\alpha+\cos2\alpha}\); В) \(3\cos^2\alpha+\frac{3}{\operatorname{ctg}^2\alpha+1}-6\).

Ответ: