Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 5. Деление на группы
Дано:
- Всего учащихся: 63.
- Количество групп: 3.
- Все группы равные.
- Среди учащихся есть Олег и Андрей.
Найти: вероятность того, что Олег и Андрей окажутся во второй группе.
Решение:
- Рассчитаем, сколько человек будет в каждой группе: \( 63 \text{ учащихся} \big/ 3 \text{ группы} = 21 \text{ учащийся в группе} \).
- Рассмотрим Олега. Вероятность того, что Олег попадет в любую из трех групп, равна 1.
- Теперь рассмотрим Андрея. После того, как Олег уже распределен в одну из групп, остаётся 62 человека и 2 группы, которые еще не полностью заполнены, или же 62 человека и 3 группы, куда мы можем поместить Андрея.
- Давайте рассуждать по-другому:
- Сначала определим, куда попадет Олег. Ему без разницы, в какую группу попасть.
- Теперь Андрей. Всего осталось 62 свободных места для него.
- Сколько мест во второй группе? В каждой группе по 21 месту.
- Если Олег попал во вторую группу, то для Андрея осталось \( 21 - 1 = 20 \) мест во второй группе, и \( 21 \) место в первой и \( 21 \) место в третьей. Всего \( 20 + 21 + 21 = 62 \) места.
- Вероятность, что Андрей попадет во вторую группу, если Олег уже там: \( P(\text{Андрей во 2-й | Олег во 2-й}) = \frac{20}{62} = \frac{10}{31} \).
- Если Олег попал в первую группу, то для Андрея осталось \( 21 \) место во второй группе. Вероятность, что Андрей попадет во вторую группу, если Олег в первой: \( P(\text{Андрей во 2-й | Олег в 1-й}) = \frac{21}{62} \).
- Если Олег попал в третью группу, то для Андрея осталось \( 21 \) место во второй группе. Вероятность, что Андрей попадет во вторую группу, если Олег в третьей: \( P(\text{Андрей во 2-й | Олег в 3-й}) = \frac{21}{62} \).
- Вероятность того, что Олег попадет во вторую группу, равна \( \frac{21}{63} = \frac{1}{3} \).
- Вероятность того, что Олег попадет в первую или третью группу, равна \( \frac{2}{3} \).
- Общая вероятность того, что Олег и Андрей окажутся во второй группе:
\[ P\(\text{Олег и Андрей во 2-й}\) = P\(\text{Олег во 2-й}\) \(\times\) P\(\text{Андрей во 2-й | Олег во 2-й}\) \)
\[ P = \(\frac{1}{3}\) \(\times\) \(\frac{20}{62}\) = \(\frac{1}{3}\) \(\times\) \(\frac{10}{31}\) = \(\frac{10}{93}\) \)
Альтернативный подход:
- Выберем Олега.
- Теперь нужно выбрать место для Андрея. Всего свободных мест 62.
- Чтобы Олег и Андрей оказались во второй группе, Андрею нужно попасть в одну из \( 21 - 1 = 20 \) оставшихся свободных мест во второй группе (так как Олег уже там).
- Вероятность: \( \frac{20}{62} = \frac{10}{31} \).
Проверка:
Пусть мы сначала выбираем места для Олега и Андрея. Всего способов выбрать 2 места из 63: \( \text{C}_{63}^2 = \frac{63 \times 62}{2} = 63 \times 31 = 1953 \).
Теперь посчитаем, сколькими способами Олег и Андрей могут оказаться во второй группе. Во второй группе 21 место. Нужно выбрать 2 места для Олега и Андрея из этих 21 места: \( \text{C}_{21}^2 = \frac{21 \times 20}{2} = 21 \times 10 = 210 \).
Вероятность: \( \frac{210}{1953} \).
Сократим дробь:
\[ \(\frac{210}{1953}\) = \(\frac{210 \big/ 3}{1953 \big/ 3}\) = \(\frac{70}{651}\) \)
\[ \(\frac{70}{651}\) \(\big\)/ 7 = \(\frac{10}{93}\) \)
Ответ: \(\frac{10}{93}\)
