5. В круг вписан равносторонний треугольник. Найдите вероятность того, что она попадёт в данный треугольник.

Для равностороннего треугольника, вписанного в круг, нужно знать соотношения между радиусом описанной окружности (круга) и стороной треугольника. Пусть сторона треугольника $$a$$, радиус описанной окружности $$R$$. $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Площадь равностороннего треугольника: $$S_{треугольника} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ Выразим сторону треугольника через радиус: $$a= R\sqrt{3}$$. Тогда $$S_{треугольника} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$ Площадь круга: $$S_{круга} = \pi R^2$$ Вероятность попадания точки в треугольник: $$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{круга}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$ $$P \approx \frac{3\times 1.732}{4\times 3.14159} \approx \frac{5.196}{12.566} \approx 0.4134$$ Таким образом, вероятность того, что точка попадёт в равносторонний треугольник, примерно равна 0.4134.