5. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Докажите, что MN ∥ A₁B₁.

Утверждение неверно для указанного расположения точек. В основании ABCD — параллелограмм. Пусть A=(0,0), B=(1,0), D=(0,1), C=(1,1). Тогда M=(1/2,0), N=(1/2,1), поэтому MN параллелен AD.

При этом A₁B₁ ∥ AB, а в параллелограмме AD не параллелен AB. Следовательно, MN не параллелен A₁B₁ в общем случае. Вероятно, в условии ошибка: из данных следует MN ∥ AD (и BC).

Ответ: доказать заявленное утверждение нельзя; верное следствие — MN ∥ AD.