5. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, AC=8 см, ∠ABC=45°. Найдите: a) AB; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Решение:

a) Найдём гипотенузу AB:

1. Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle ABC = 45^{\circ} \), то \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( AC = BC = 8 \text{ см} \).

2. По теореме Пифагора найдём гипотенузу \( AB \):

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \)

\( AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \text{ см} \)

б) Найдём высоту CD, проведенную к гипотенузе:

1. Площадь \( \triangle ABC \) можно найти двумя способами:

\( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 32 \text{ см}^2 \)

\( S = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)

2. Приравняем оба выражения для площади:

\( 32 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \text{ см} \times CD \)

\( 32 = 4\sqrt{2} \times CD \)

\( CD = \frac{32}{4\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} \)

Ответ: a) 8\(\sqrt{2}\) см; б) 4\(\sqrt{2}\) см.