6. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне. Большее основание трапеции равно 12 см, угол при основании равен 30°. Найдите длину диагонали трапеции.

Обозначим меньшее основание и каждую боковую сторону через \(x\). Проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(x\cos30°\). Поэтому разность оснований равна \(2x\cos30°=x\sqrt{3}\), а большее основание составляет \(x+x\sqrt{3}=12\). Отсюда \(x=\frac{12}{1+\sqrt{3}}=6(\sqrt{3}-1)\).

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна полусумме оснований: \(\frac{12+x}{2}\). Высота равна \(x\sin30°=\frac{x}{2}\). По теореме Пифагора длина диагонали:

\[d=\sqrt{\left(\frac{12+x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac{x}{2}\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+1}=6\sqrt{12-3\sqrt{3}}\text{ см}.\]

Приблизительно \(d\approx 14{,}20\) см.

Ответ: \(6\sqrt{12-3\sqrt{3}}\) см, или приблизительно 14,20 см.