5. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°, BK = 6 см, высота AK = 8 см. Найдите косинус угла C.

Так как \(AK\) — высота к стороне \(BC\), точка \(K\) лежит на \(BC\) и \(AK\perp BC\). В прямоугольном треугольнике \(ABK\):

\(AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\) см.

Треугольники \(ABK\) и \(ABC\) подобны: у них общий угол \(B\), а углы при \(K\) и \(A\) прямые. Поэтому \(\frac{BK}{AB}=\frac{AB}{BC}\), значит \(BC=\frac{AB^2}{BK}=\frac{100}{6}=\frac{50}{3}\) см.

\(\cos C=\frac{AC}{BC}\). По теореме Пифагора \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{\frac{2500}{9}-100}=\frac{40}{3}\) см.

Следовательно, \(\cos C=\frac{40/3}{50/3}=\frac{4}{5}\).

Ответ: \(\frac{4}{5}\).