№ 5. В равнобедренной трапеции ABCD AB = CD. Диагональ BD проведена; ∠CBD = 35°, а по отметкам на рисунке ∠ADB = ∠BDC. Найдите отмеченные углы ∠ABD, ∠A и ∠C.

Пусть ∠ADB = ∠BDC = x. Тогда весь угол D равен 2x. Поскольку основания AD и BC параллельны, ∠C + ∠D = 180°.

1. В треугольнике BCD: ∠C + x + 35° = 180°, откуда ∠C = 145° − x.
2. Также ∠C = 180° − 2x. Приравниваем выражения: 145° − x = 180° − 2x, поэтому x = 35°.
3. Тогда ∠C = 180° − 2 · 35° = 110°. Углы при верхнем основании равнобедренной трапеции равны, поэтому ∠B = ∠C = 110°.
4. ∠ABD = ∠B − ∠CBD = 110° − 35° = 75°.
5. В равнобедренной трапеции углы при нижнем основании равны, поэтому ∠A = ∠D = 2x = 70°.

Ответ: ∠ABD = 75°, ∠A = 70°, ∠C = 110°.