5. В треугольнике ABC сторона BC = 10, ∠A = 75°, ∠B = 45°. Найдите радиус R описанной окружности.

По расширенной теореме синусов \(BC=2R\sin A\), поскольку сторона BC лежит напротив угла A.

\(R=\dfrac{10}{2\sin75^\circ}=\dfrac{5}{\sin75^\circ}.\)

\(\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\)

Следовательно, \(R=\dfrac{20}{\sqrt6+\sqrt2}=5(\sqrt6-\sqrt2).\)

Ответ: \(R=5(\sqrt6-\sqrt2)\).