5. В угол С величиной 40° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах А) 40° Б) 140° B) 90° Г) 50°

Решение:

Окружность вписана в угол. Центр окружности лежит на биссектрисе угла. Точки касания А и В лежат на сторонах угла. Рассмотрим четырёхугольник АОВС. Так как касательные проведены из одной точки (вершины угла С) к окружности, то отрезки касательных равны \( CA = CB \). Также \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, проведённые в точки касания, поэтому \( \angle CAO = \angle CBO = 90^{\circ} \).

В четырёхугольнике АОВС сумма углов равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle C + \angle CAO + \angle AOB + \angle CBO = 360^{\circ} \).

\( 40^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( 220^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ} \).

Ответ: Б) 140°.