5. Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 6, BC = 8, AC = 10.

Проверим вид треугольника: \(6^2+8^2=36+64=100=10^2\), значит, треугольник прямоугольный, а его гипотенуза равна 10.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \(r=\frac{10}{2}=5\).

Проекция центра сферы на плоскость треугольника является центром этой окружности. Если \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости, то \(13^2=d^2+5^2\).

Тогда \(d=\sqrt{169-25}=12\).

Ответ: 12.