6. Высота конуса равна h. Через образующие MA и MB проведена плоскость, составляющая угол α с плоскостью основания конуса. Хорда AB стягивает дугу с градусной мерой β. Найти длину AB, площадь сечения, площадь полной поверхности конуса.

Обозначим через O центр основания, а через R — радиус основания. Считаем, что β — градусная мера меньшей дуги AB.

Пусть d — расстояние от O до хорды AB. Угол между плоскостями равен α, поэтому \(\tan\alpha=\frac{h}{d}\), откуда \(d=h\cot\alpha\).

Для хорды, стягивающей дугу β, \(d=R\cos\frac{\beta}{2}\). Следовательно, \(R=\frac{h\cot\alpha}{\cos(\beta/2)}\).

Длина хорды:

\[AB=2R\sin\frac{\beta}{2}=2h\cot\alpha\tan\frac{\beta}{2}.\]

Сечение — треугольник MAB. Его высота к основанию AB равна \(\sqrt{h^2+d^2}=\frac{h}{\sin\alpha}\). Поэтому

\[S_{MAB}=\frac12 AB\cdot\frac{h}{\sin\alpha}=h^2\cot\alpha\tan\frac{\beta}{2}\csc\alpha.\]

Длина образующей конуса \(l=\sqrt{h^2+R^2}\), а полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания:

\[S_{\text{полн}}=\pi Rl+\pi R^2,\qquad R=\frac{h\cot\alpha}{\cos(\beta/2)},\quad l=\sqrt{h^2+R^2}.\]

Ответ: \(AB=2h\cot\alpha\tan\frac{\beta}{2}\); \(S_{MAB}=h^2\cot\alpha\tan\frac{\beta}{2}\csc\alpha\); \(S_{\text{полн}}=\pi R\sqrt{h^2+R^2}+\pi R^2\), где \(R=\frac{h\cot\alpha}{\cos(\beta/2)}\).