5. Вычислите: a) \( \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \); б) \( \frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)

Решение:

1. a) \( \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \)
Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):\( \frac{7^{9+11}}{7^{18}} = \frac{7^{20}}{7^{18}} = 7^{20-18} = 7^2 = 49 \)
2. б) \( \frac{(3^4)^2 \cdot 2^{11}}{4 \cdot 36^4} \)
Преобразуем основание степени \( 36 \) в произведение простых множителей: \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \). Также \( 4 = 2^2 \):\( \frac{3^{4 \cdot 2} \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot (2^2 \cdot 3^2)^4} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot (2^2)^4 \cdot (3^2)^4} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot 2^{2 \cdot 4} \cdot 3^{2 \cdot 4}} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^2 \cdot 2^8 \cdot 3^8} \)
3. Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\( \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{2+8} \cdot 3^8} = \frac{3^8 \cdot 2^{11}}{2^{10} \cdot 3^8} = 3^{8-8} \cdot 2^{11-10} = 3^0 \cdot 2^1 = 1 \cdot 2 = 2 \)

Ответ: a) \( 49 \); б) \( 2 \).