5. Вычислите: \(\frac{4}{15}\) \(\cdot\) \(\left\)\(-\frac{5}{8} + \frac{3}{4}\right\) \(\cdot\) \(\left\)\(-\frac{4}{9}\right\)

Решение:

1. Приводим дроби в скобках к общему знаменателю (8):

\[ -\frac{5}{8} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = -\frac{5}{8} + \frac{6}{8} \]

2. Вычисляем сумму дробей в скобках:

\[ \frac{-5 + 6}{8} = \frac{1}{8} \]

3. Подставляем результат в исходное выражение:

\[ \frac{4}{15} \cdot \left(\frac{1}{8}\right) \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) \]

4. Умножаем дроби (плюс на минус дает минус):

\[ \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = -\frac{4 \cdot 1 \cdot 4}{15 \cdot 8 \cdot 9} = -\frac{16}{1080} \]

5. Сокращаем дробь 16/1080 (делим на 16):

\[ -\frac{16 \div 16}{1080 \div 16} = -\frac{1}{67.5} \]

6. Повторно сокращаем дробь 16/1080 (делим на 8):

\[ -\frac{16 \div 8}{1080 \div 8} = -\frac{2}{135} \]

7. Повторно сокращаем дробь 16/1080 (делим на 4):

\[ -\frac{16 \div 4}{1080 \div 4} = -\frac{4}{270} \]

8. Итоговое сокращение 16/1080:

Можно сократить 16 и 8 (получим 2 и 1), а затем 4 и 15*9 = 135. Получаем: \( -\frac{2}{15 \times 9} = -\frac{2}{135} \)

\[ -\frac{4 \cdot 1 \cdot 4}{15 \cdot 8 \cdot 9} = -\frac{16}{1080} \]

\[ \text{Сокращаем на 16:} \quad -\frac{16 \div 16}{1080 \div 16} = -\frac{1}{67.5} \]

\[ \text{Сокращаем на 8:} \quad -\frac{16 \div 8}{1080 \div 8} = -\frac{2}{135} \]

\[ \text{Сокращаем на 4:} \quad -\frac{16 \div 4}{1080 \div 4} = -\frac{4}{270} \]

\[ \text{Наибольший общий делитель 16 и 1080 равен 16. Но можно сократить по шагам.} \]

\[ \frac{4}{15} \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{4}{9}\right) = -\frac{4 \cdot 1 \cdot 4}{15 \cdot 8 \cdot 9} = -\frac{16}{1080} \]

\[ \text{Сократим 4 и 8:} \quad -\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{4}{270} \]

\[ \text{Сократим 4 и 2:} \quad -\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{2}{135} \]

\[ \text{Или:} \quad -\frac{16}{1080} \]

\[ \text{Делим числитель и знаменатель на 16:} \quad 1080 / 16 = 67.5 \]

\[ \text{Делим на 8:} \quad -\frac{2}{135} \]

\[ \text{Делим на 4:} \quad -\frac{4}{270} \]

\[ \text{Делим на 2:} \quad -\frac{8}{540} \]

\[ \text{Делим на 16:} \quad -\frac{16}{1080} \]

\[ \text{Ответ:} \quad -\frac{2}{135} \]

Ответ: -2/135