№ 5. Выясните, при каких значениях \(x\) производная функции \(f(x)\) принимает отрицательные значения, если \(f(x)=\frac{3x^2-1}{1-2x}\).

Область определения функции: \(x\ne\frac{1}{2}\).

По правилу дифференцирования частного:

\[f'(x)=\frac{6x(1-2x)+2(3x^2-1)}{(1-2x)^2}=\frac{-6x^2+6x-2}{(1-2x)^2}.\]

Знаменатель положителен при всех допустимых \(x\). Числитель \(-6x^2+6x-2=-2(3x^2-3x+1)\) всегда отрицателен, поскольку дискриминант квадратного трёхчлена \(3x^2-3x+1\) равен \(-3<0\), а его старший коэффициент положителен.

Ответ: при всех \(x\in\mathbb{R}\), кроме \(x=\frac{1}{2}\).