5. ∫(x^7 - 1/sin^2 x)dx;

Решение:

Этот интеграл представляет собой разность двух функций. Мы можем проинтегрировать каждую функцию отдельно, используя правила линейности интеграла.

\[ \int \left( x^7 - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \int x^7 dx - \int \frac{1}{\sin^2 x} dx \]

Интегрируем x⁷:

\[ \int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C_1 = \frac{x^8}{8} + C_1 \]

Интегрируем 1/sin²x:

\[ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = - \cot x + C_2 \]

Объединяем результаты:

\[ \frac{x^8}{8} - (-\cot x) + C = \frac{x^8}{8} + \cot x + C \]

где C = C₁ + C₂

Ответ: x^8/8 + cot x + C